三百三十四節 真或假（2/2）

命題d：『地區碼第4位不為1』，

命題e：『地區碼第5位為1』，

命題f：『地區碼第5位不為2』

命題g：『地區碼第6位不為9』

命題h：『地區碼第7位不為9』

┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧e，這是10011，三亞榆林，它符合5號卡袋的表達式，所以這些卡片位於5號卡袋中，可以記為p5。

┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧g，這是100120~100128，三亞田獨11~89公社，它符合7號卡袋的表達式，所以這些卡片位於7號卡袋中，可記為p7。

┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧┐g∧h，這是1001290~1001298，三亞田獨90~98公社，它符合8號卡袋的表達式，所以這些卡片位於8號卡袋中，可記為p8。

後兩者合起來，即p7∨p8，是三亞田獨，但不包括奴隸。三者全部合起來，即p5∨p7∨p8，是我們所要的結果。因為這個表達式符合我們上面的形式，所以分類機可以解決。」

「而『（a∧b∧c）∨（a∧d∧e）』，無論我們怎樣變換，是不能變換成上述表達式的，因而是當前的分類機所不能解決的。」

「好，問題來了，怎樣變換表達式？」這時他看向了馮珊。

「這是0和1的布爾代數。」馮珊答道，她的眼睛裡透出著迷的神色。

馮諾點點頭，錢羽之和李加奈此前已經完全不知所云了，不過聽到布爾代數，他們有點反應過來了。

馮諾只教過他倆最簡單的布爾代數，以至於他們以為布爾代數就是0和1的布爾代數。

「然後呢？」馮諾繼續引導。

「布爾代數是有補分配格！交運算是『與』，並運算是『或』，求補是『非』，滿**換律、結合律、吸收律，『與』和『或』彼此滿足分配律！0-1布爾代數還滿足冪等律！」

這是布爾代數的理論部分，錢羽之和李加奈又糊塗了。

「很好。」馮諾表揚了一句。

「不過，」他又補充說，「格的基本運算律只是『與』和『或』兩種運算之間的，包括交換律、結合律、吸收律、冪等律、分配律等等。在命題邏輯里，還要考慮『非』的性質，這裡我暫時只說兩點：其一，雙重否定律，很顯然，命題的非命題的非命題，是其自身。其表達式的形式是——」

馮諾在黑板上寫下：

┐┐a=a；

「其二，德……唉，就叫『與或轉換律』吧，兩個命題的合取的非，是兩個命題的非的析取；兩個命題的析取的非，是兩個命題的非的合取。其表達式的形式是——」

他又寫下：

┐（a∧b）=┐a∨┐b，

┐（a∨b）=┐a∧┐b。

「我舉兩個例子你們就明白了，『不是16歲以上的男人』，也就意味著是『16歲以下的人』或『女人』；『不是原籍海南或福建的人』，也就意味著『不是原籍海南的人』並且『不是原籍福建的人』。」

然後他繼續說道，「根據這些運算律，可以把邏輯命題的表達式變換成各種形式，不過，一般我們會變換成連續『與』的『或』，或者連續『或』的『與』，稱為析取範式和合取範式。」

「好，有了理論工具，我們就能夠發現，目前分類機在設計上存在局限性。如果分類機能夠處理一般的析取範式或者合取範式，就不存在從設計上無法解決的問題了。——比如『找出原籍福建或海南的人』。」

「這就要求我們的每個讀卡單元，不是僅能判斷一個簡單命題的真假，而是能夠判斷多個簡單命題構成的合取項或者析取項的真假。反映在分類機設計上，就是把讀卡單元目前僅包括1個工作繼電器和1個控制繼電器的簡單電路，改造成包含多個繼電器的開關電路。」

「羽之，你這段時間已經很熟悉電路了。你來組裝一個有兩個開關和一個燈泡的電路，要求『只有2個開關都閉合，燈泡才亮』。」

馮諾指了指一旁的工作檯。工作檯上有一大堆導線、繼電器、燈泡和開關，台下放著兩個笨重的鐘式電池，萬用表和其他幾種儀器則被丟在工作檯的角落裡。

錢羽之熟練地來到工作檯前忙活起來，他首先從電池的正負極引出了導線，然後把燈泡連入電路，燈泡亮了。接著，他把兩個開關用導線連起來，又和燈泡、電池連在了一起。

馮諾讓三名學生都去試一下，是不是只有2個開關都閉合時，燈泡才亮，如果有任意1個開關是斷開的，燈泡就熄滅。

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