第404章 最貪的選擇（1/2）

陳舟明顯愣了一下。

這是一上來，就考自己嗎？

從幾何角度研究非交換環？

真要說起來，對於非交換環，陳舟還是有些看法的。

非交換環的一個最常見的例子，或許就是矩陣了。

利用矩陣可以得到一批非交換環的反例。

就好像，若S是包含在環R內的相應維數為無窮的域。

那麼A=Re_11+Re_12+Se_22，是左her與左Artin的。

但不是右her與右Artin，這說明了鏈條件在非交換環中有左與右的差別。

在除環上的所有矩陣的有限直積，構成了所謂的半單環類。

這就是通常所說的Wedderburn-Artin定理。

這也是非交換環中第一個精彩的結構定理。

更加有趣的是，它通過矩陣的對稱結構，自然說明了左半單環等價於右半單環。

在交換環中，最常見的兩個根分別是Jacobson根與冪零根。

前者簡稱為大根，它是所有極大理想的交。

後者簡稱為素根或小根，它是所有素理想的交。

而在非交換的情形中，一個根就可能分化為三個根，滿足某類條件左、右理想以及理想的交。

事實上，非交換環R，所有極大左理想的交，恰恰就是所有極大右理想的交。

並且它們良好的繼承了相應的可逆性質。

因此就稱其為非交換環的Jacobson根，也記作rad(R)。

儘管非交換環中有左與右的區別，但也不乏此類殊途同歸的有趣現象。

而在交換代數中，由於局部化技術的廣泛使用，局部環成為了一個研究的焦點。

但非交換環的局部環技術，似乎受到了限制。

反倒是特別在乎半局部環。

值得注意的是，非交換環中對半局部環的定義，並非是指它只有有限個極大左理想。

而是定義為Rad(R)是半單環或者是Artin環。

事實上，半局部環R的各（雙邊）理想均包含rad(R)，可以化歸為Artin環Rad(R)中的極大理想，因此至多只有有限多個。

但對於左理想的情形，就必須補充條件「Rad(R)可交換」。

否則可以考慮域上的矩陣代數，它是半局部的，卻可能有無窮多個極大左理想。

至於從幾何角度研究非交換環，也就是所謂的從局部方面，研究交換代數的方法。

主要討論代數簇中的奇異點，以及代數簇在奇異點周圍的性質。

但這主要針對的是交換環，而不是非交換環……

陳舟的腦海里飛速的閃過關於非交換環的內容。

可是，自己這只是半吊子的理解，並沒有深入研究過。

面對第一次見面的導師，還是這樣的一位大佬。

自己還能怎麼看？

與其班門弄斧，說著一些淺顯的理解。

還不如老老實實的說，自己沒啥看法。

在這樣的數學大佬面前，不懂裝懂，或者故意賣弄。

才是真正愚蠢的事情。

阿廷教授見陳舟一直沉默著，沒有說話。

便又笑著問了一句：「怎麼了？有什麼想法，可以儘管說出來。」

陳舟看了阿廷教授一眼，最終老實說道：「教授，對於從幾何角度研究非交換環，我沒有什麼看法。」

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