第81章 連續模方法（2/2）

【我現在的困境是，我想證明在臨界耗散的情況下，解是全局光滑的。我嘗試用能量估計法去控制梯度的增長，但是非線性項里的那個裡斯變換太噁心了，它的交換子估計我一直做不好。每次算到最後，不等式右邊的項總是比左邊的耗散項高一階，根本閉合不了！】

【我都卡了三個月了，下學期再搞不出來的話，我畢業課題都沒時間搞，到時候鐵定延畢，真的是mmp。】

看著屏幕上張濤發來的大段吐槽，林葉微微一愣。

二維臨界表面准地轉方程？

也就是SQG方程。

這個方程他在上次的數學物理修煉空間的資料里學習過，它雖然是二維模型，但在數學結構上與三維歐拉方程驚人地相似，是偏微分方程領域極其熱門的研究對象。

而自從在那次的修煉空間中學習了一大堆的知識之後，他就有一段時間沒有好好研究過偏微分方程和流體力學這方面的問題了。

於是乎，張濤說的這些東西，就讓他的腦子裡面自動轉了起來。

「臨界耗散————梯度估計·————交換子無法閉合————」

林葉趴在床上，閉上眼睛，腦海中那已經來到105%提升的數學能力開始飛速運轉。

如果不使用能量估計法呢？

對於這種臨界情況下的梯度控制，傳統的能量積分往往會失效，因為臨界意味著耗散剛好夠用，容不得半點浪費。

突然，一個極其冷門但精妙的技巧在他的腦海中浮現。

「連續模方法————」

林葉猛地睜開眼睛，手指在屏幕上快速敲擊起來。

林葉：【張學長，關於臨界SQG的梯度估計，你是不是一直試圖直接估計L^p

範數或者Sobolev範數？】

張濤：【對啊！不都是這麼做的嗎？】

林葉：【要不你換個思路？不要直接估計範數。試一下Kiselev—Nazarov—

Volberg提出的連續模方法？】

林葉：【具體的思路是，你不去證明梯度的範數不爆炸，而是證明解θ（，t）

始終保持某種特定的連續性模ω（ξ）。如果能構造出一個特殊的模函數，使得它滿足即便在非線性項最壞的拉伸情況下，耗散項依然能壓制住這種破壞，那麼解就一定是全局光滑的。】

林葉：【這種方法不需要精細的交換子估計，它把積分不等式的問題轉化成7一個關於模函數的一維常微分不等式問題。對於臨界耗散，這應該比能量法更有效。】

發完這段話，林葉就沒有再多說什麼，畢竟他也只是提供一個思路。

就像是當初他能夠把那篇論文解決，也是張濤給他推薦的那本書帶來的靈感，現在就當是還一次張濤當初幫的那個忙。

然而，手機那頭的張濤，卻足足沉默了五分鐘。

他死死盯著電腦屏幕上的「連續模方法」這幾個字，瞳孔劇烈震動。

他立馬切換到瀏覽器，在搜索框裡輸入了這個關鍵詞。

幾篇相關的頂級數學論文跳了出來，雖然是用於其他方程的，但其核心思想與林葉描述的一模一樣。

「把積分估計轉化成一維常微分不等式————」張濤喃喃自語，大腦飛速推演O

如果用這個方法，那個讓他痛不欲生的里斯變換交換子，確實就被巧妙地繞過去了！

「臥槽————」

「好像還真可以？！」

張濤震驚了。

他糾結了那麼久的問題，就被那位高三學弟給解開了？

這位學弟短短一個月沒見，又完成了一次超進化？

他顫抖著手，重新切換到了聊天框，回復了一句：【我這幾天就試試！】

【要是真成功了，我回頭給你磕一個】

林葉哭笑不得地回覆：【不至於不至於，您還是先好好過年吧！】

【我也提前說一聲新年快樂了。】