第四百四十四章 素數無限的證法（2/2）

程諾聳聳肩，笑道，「不啊，我現在腦子裡就有許多新想法。」

兩人默默對視一眼，皆是懷疑程諾話語的真實性。

一人狐疑的問道，「程諾同學，那能不能隨便給我們舉幾個栗子？」

程諾往篝火中心挪了挪，換了個舒服的坐姿，慢悠悠的開口，「當然沒問題。」

程諾豎起了一根手指，「第一個，利用互素序列進行證明。」

兩人也很好奇程諾究竟會說些什麼，豎起耳朵傾聽。

「你們想一下，假如能找到一個無窮序列，其中任意兩項都是互素的，即所謂互素序列，那就等於證明了素數有無窮多個——因為每一項的素因子都彼此不同，項數無窮，素因子的個數、從而素數的個數，自然也就無窮。」

「那什麼樣的序列既是無窮序列又是互素序列？」一人忍不住問道。

程諾打了響指，笑呵呵的開口說道，「其實這個序列你們應該都聽說過，數學家哥德巴赫在給數學家歐拉的一封信中，提到了一個完全由費馬數：Fn = 2^2^n + 1 （n = 0， 1，...）組成的序列這個概念，通過Fn - 2 = F0F1···Fn-1這個公式，可以證明費馬數之間是彼此互素的。」

「以上，利用費馬數組成的序列，就可以輕鬆得到素數無限的一個證明法。」程諾語氣停頓了一下，開口說道，「下面我說第二個。」

「等一下！」一位隊友大聲叫停了程諾，急忙從背後的書包里拿出一摞草稿紙，將程諾提出的第一個證明法記下以後，才不好意思的對程諾說道，「你繼續吧。」

他這麼大聲，自然引起了旁邊許多學校的注意。

於是當眾人看到劍橋大學這邊兩位天資橫溢的博士生，此時卻宛若小學生一般，仰著頭期待著那邊程諾講話，皆是一臉的疑惑之色。

但時間緊迫，眾人的視線只是在劍橋大學的隊伍上停留了幾秒時間，便匆匆接著自己的埋頭苦算。

「呃，那我接著說。」程諾接著說道，「我第二個想出的辦法是利用素數的分布進行求證。」

「法國數學家阿達馬和比利時數學家瓦萊-普森於 1896 年證明的素數定理中指出，N 以內的素數個數π（N）的漸近分布為π（N）~ N/ln（N），N/ln（N）隨 N 趨於無窮……」

「……由上，可得知對任意正整數 n ≥ 2，至少存在一個素數 p 使得 n p 2n。」程諾邊說，一旁那位隊友便在紙上唰唰的記著，雙眼中滿是掩飾不住的興奮之色。

本以為程諾能提出一個新方向的證明方法，已經是實屬難得，可未曾料想，程諾一口氣直接提出了兩個。

但程諾讓兩人的驚訝還在繼續。

程諾瞥見記錄的那位隊友已經記完，清了清嗓子，開口道，「再說第三個。」

「還有？」隊友詫異出聲。

「當然還有。」程諾笑呵呵的說道，望著揉著手腕的隊友，「這才哪到哪！」

「第三種，利用代數數論的知識證明。利用代數數論手段證明素數有無窮多個的出發點之一是利用所謂的歐拉φ函數。」

「對任一正整數 n，歐拉φ函數的取值φ（n）定義為：φ（n）:=不大於 n 且與 n 互素的正整數的個數。對任一素數 p，φ（p）= p - 1，這個是因為 1，...， p - 1 這 p - 1 個不大於 p 的正整數顯然都跟 p 互素。」

「然後，對兩個不同的素數 p1 和 p2，φ（p1p2）=（p1 - 1）（p2 - 1），這是因為……」