第二百一十三章 鋼琴原理（2/2）

「通過計算，西漢學者京房發現，3/2的五十三次方和2的三十一次方也很接近，但人耳朵能接受的八度卻在七個左右，所以3/2的十二次方7和2的七次方128這兩個接近的數便成為較為精確的選擇。於是古人們把「五度相生律」中「按3/2比例尋找最和諧音」的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，如今就有了12個音符。這種經過修改的「五度相生律」推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2048F、9/8F、/F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、/F、243/128F。」

「既然如此，七個八度，八十四個音階正好夠用，為什麼還要再增加四個聲音？」

「有兩個原因，第一原因是人的耳朵能分辨的頻率差值是2，而最低的幾個音已經達到這個分辨的極限；第二個原因是在這八十八個標準音之外的聲音聽起來很不舒服，所以就舍掉了。」

「這些樂音用什麼方法來確定？難道全部用三分損益法？」

「當然不是，三分損益法用到後面，便已經嚴重地失真。一個八度十二個音的每兩個音之間的比例應該是相同的，那麼只需要將二開十二次方便可以得到這個比例關係。這個比例近似值是0，也可以簡單記成06。」

「開十二次方？」沈括乃是有名的數學家，但開十二次方還是一個不小的計算量，「這麼大的工作量是怎麼做到的。」

「華夏有一奇人朱載堉（註：明朝一皇室子弟）用珠算開方的辦法計算出來這個近似值。而這個數字的7次方正好約等於3/2，可以完美地還原所有的音階，而且做到每個音階之間比例相同。而有了這些精確的比例關係，88鍵鋼琴的每一根弦的長度和位置便可以精確地製造出來，隨後只需要調節鋼絲的張力便可以調教出來一架完美的鋼琴。」

「哇！」沈德這些小孩子興奮地叫了起來，「三哥，你得答應送給我一架。」

沈封、沈朗也鬧著要鋼琴。

「沈氏鋼琴自然要做到沈家子弟人手一架。」

「你們幾個孩子先別想著要鋼琴。那這簡譜所用的唱名還有用嗎？現在成了十二個音階了，比原來多了五個音。」沈披眼睛一瞪，大聲道。

「簡譜這七個音當然有用，增加的五個音離初始音F更加遙遠。在一個八度里，與1最近的是5，然後便是高音1的親和音4。2367與1也比另外五個音和諧一些。而且，大家發現沒有，」沈方指著數字，念的卻是該數字對應的唱名，「按照三分損益法，2與1、3與2、5與4、6與5、7與6之間的頻率比例都是9比8，這個比例叫做全音，而4與3、高音1與7之間的頻率比例都是256比243，這個比例叫做半音。五個全音之間便以五個新加進來的音階分各分成了兩個半音。」

「這些半音在簡譜中的計法也很簡單，被計作：1#、2#、4#、5#、6#，讀作：升1、升2、升4、升5、升6。因為是半音，也可以計作：2b、3b、5b、6b、7b，讀作：降2、降3、降5、降6、降7。」