第三百三十二章 計數器（1/2）

第三百三十二章：計數器

反正現在也做不了別的事情，便又從「高於w的集合設定」那一部分繼續攀登沖往「無限」的漫長道路——

……為了更好地理解集合的大小，我們定義一個k，把小於 k的一定數量（小於k的數量）的數加在一起還是不如 k 大——＜ 與+均是小學數學課本上的內容，如果大家都長大成人了想必已對此會有更不一般的見解。

小於 k 的基數的下一個基數仍小於 k ——弱不可達就是指這種情況。小於 k 的基數的取冪後的基數也小於 k ——強不可達就是指這種情況。在連續統假設成立的情況下就無所謂強弱之分了。

接下來就稍微進階下，讓我們設置一個計數器——φ，φ的作用就是計數，數數應該是幼稚園就有的概念了。φ的功能就是在（）中顯示不可達基數的個數，比如φ（1）就是數到第一個不可達基數，φ（2）就是數到了第二個不可達基數。因為阿列夫0對於小於它的數滿足了上述條件，所以φ（1）就數到了阿列夫0；而下一個不可達基數則對小於它的數（包括阿列夫0）也滿足了上述條件，所以φ（2）就數到了它；φ（3）同理……

就在這個計數器不停的數啊數啊數，數了好久好久，不知道是不是累了還是咋地迷糊了，數到 k 時，有φ（k）=k。對於大到這麼特別地不可達基數，我們決定給他頒個勳章，名稱前綴個1-，也就是1-不可達基數。當然，還不止如此，作為特別款待，我們將用特別版的計數器來為其計數，也就是φ_1，有個特別的點綴。φ_1（1）數到的就是最開始遇到的那個1-不可達基數。

就在這個計數器不停的數啊數啊數，數了好久好久，不知道是不是累了還是咋地迷糊了，數到 k 時，有φ_1（k）=k。對於大到這麼特別地不可達基數，我們決定給他頒個勳章，名稱前綴個2-，也就是2-不可達基數。就這麼頒獎下去啊，我們就有了一系列a-不可達基數。直到有一天，我們的計數表爆表了！

這裡說的爆表當然不是說計數器數不下去了，而是勳章多的裝不上去了。為什麼會這樣呢？因為我們的計數器已經數到頭昏眼花，數到了φ_k（k）=k。不得已，對於大到這麼獨特的不可達基數，我們決定給他頒個榮譽證書，冠名為超不可達基數。對於超不可達基數，我們決定換個豪華版計數器——Φ。

不過即使是Φ，也有數的頭暈腦脹的時候，遇到了Φ（k）=k。不過豪華版就是豪華版，即使到了這一步我們還是可以給它頒個勳章了事。但可恨的是，Φ終究也有數到神志不清的一天，遇到了Φ_（k）=k，不得已，我們只能用超豪華典藏版來數這些超-超不可達基數。

但奈何啊，超豪華典藏版依舊重蹈覆轍，以至於我們都開始用φ來計數倒下了多少個計數器了。於是最終還是放棄了，因為φ又雙叒叕數倒下了。好了，小學生的故事就到此結束！

「（還是在解釋疊代，不過敘述要比之前簡單一些了，適合數學基礎比較薄弱的一類人吧……）」

……再稍微進階下，可以對φ作擴展成φ_0_0以用φ_1_0等同Φ的計數能力，φ_1_1等同Φ_1的計數能力。為了簡潔，我們也可以表示成φ（x，y），或進一步擴展為φ（x，y，z，……），並以φ_k（x，y，z，……）表示（x，y，z，……）含 k 元變元，然後再進一步擴展為φ_（x，y，z，……）（x，y，z，……）……至於後面的高維擴展還是啥的隨便你們玩了。

但玩的時候需要注意的是，計數器之所以能計數，還是因為有數可計，在ZFc中你不可能因為已有的正則極限基數就執行{n是第n個正則極限基數|n∈w}。而在ZFc+存在不可達基數中，也僅包含宣告存在的不可達基數，下一個不可達基數都是不可達的，除非你添增一套公理模式，能夠將ZFc設計的計數器的計數都作為公理加入。

不過最好的方式還是，設計一個全新的大基數公理，比如回到最開始，k中不可達基數構成的集合為k中的駐集，這樣在k中就足夠計數器數了。何以？因為不可達基數本身的不可達性（跨越度），使得一系列不可達基數的極限總不會是不可達基數，或者說，僅含 n 個「不可達基數」的宇宙總是存在的。所以，這種 k 的存在是比不可達基數（對於其下集合而言可以充當全域）更為可疑的了。但既然開啟了這一步，那就沒什麼可以阻止該定義的推廣了。比如，這種k的集合亦在某個K中構成駐集，然後前綴1-。所謂 k 的集合在K中構成駐集的意思是，K的一部分加起來等於K ，並且這一部分的一部分加起來得到的數也屬於這一部分。k為不可達基數的話就是，不僅K中的k加起來等於K，一部分k加起來也是k。

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