第三百三十二章 計數器（2/2）

不過最好的方式還是，設計一個全新的大基數公理，比如回到最開始，k中不可達基數構成的集合為k中的駐集，這樣在k中就足夠計數器數了。何以？因為不可達基數本身的不可達性（跨越度），使得一系列不可達基數的極限總不會是不可達基數，或者說，僅含 n 個「不可達基數」的宇宙總是存在的。所以，這種 k 的存在是比不可達基數（對於其下集合而言可以充當全域）更為可疑的了。但既然開啟了這一步，那就沒什麼可以阻止該定義的推廣了。比如，這種k的集合亦在某個K中構成駐集，然後前綴1-。所謂 k 的集合在K中構成駐集的意思是，K的一部分加起來等於K ，並且這一部分的一部分加起來得到的數也屬於這一部分。k為不可達基數的話就是，不僅K中的k加起來等於K，一部分k加起來也是k。

k的集合在K中構成駐集，本質上就是將K的子集劃分為大的與小的兩類，而所謂的駐集即是不屬於小的那類的子集，可以說你已經簡單的懂得了濾的觀念，接下來就來進入下一個濾吧！

令μ為一個檢測器，把它當做跟戰鬥力檢測器差不多的玩意，只是只能顯示1或0，權當大和小來理解就夠了。所謂 k 上的測度就是這麼個情況：

μ（k）=1；k 作為自身的子集當然是屬於大的一類了。對任意 x∈k，μ（{x}）=0；作為 k 的元素，該元素的集合當然也是 k 的子集，但這種子集連等勢都不等上，當然是屬於小的一類了。對任意 x?Y ，μ（x）≤μ（Y）；顯而易見，x 作為 Y 的子集，Y 的值不可能會小於 x ，最多大家一樣。

對任意兩兩不相交的子集族{xi|i∈w}，其並的測度（μ（u{xi|i∈w}））等於其分別測度之和；顯然，1+1=2，而μ 只能顯示1和0，所以明擺著是說 k 中任意兩兩不相交的子集族都是戰0渣。是不是很簡單？動腦想下不難發現，阿列夫零上就具有這樣的測度，對於具有這種測度的基數我們稱之為可測基數。

而不可數的可測基數，則打破了可構造公理的神話，不為來自現象學的辯護支持，亦不被形而上的絕對無窮涵蓋，是大基數中的一道里程碑，大大基數的分水嶺，現代數理邏輯真正關注的大基數由此開始。可以說，上述的那些極大性之於可測基數都微不足道。但其實光有二值測度的確不夠直觀，還是需要加下非主超濾配合來看的。這裡有張圖會比較直觀地展現：

那麼定義 k 上的濾子 U 是一個超濾子，若且唯若對任意 S?k，要麼 S∈U，要麼 S的補集∈U。直觀上，屬於 U 的集合是大的集合，自然地，補集為大的集合的集合就是小的集合。可以說超濾子將 k 的所有子集劃分為大的和小的，而稱 U 是主超濾子，若且唯若存在 x∈k 使得 U={S?k|x∈S}。此外，稱 U 是k-完全的，若且唯若＜k個大的集合的交集仍然是大的。因此，如果稱一不可數基數是可測基數，那麼若且唯若存在 k 上的＜k-完全非主超濾子。

「（完蛋，我就知道扯到後面肯定會有一堆我看不懂的符號，看來我也就小學生水平了麼？）」

那麼如何理解不可達基數？遞歸的定義超窮基數：令?0 =w，?a+為oN中所有基數大於?a的a 之交，也就是基數比?a大的所有序數中最小的序數。不難看出，對於任意序數均可定義一個超窮基數，而所有超窮基數的類是oN的子類，儘管它倆的長度一樣長。

也甭管阿列夫一是怎麼大於阿列夫零了，反正存在大於阿列夫零的基數然後我們管其中最小的那個叫阿列夫一，第二個叫阿列夫二。現在我們已經知道每個基數都是序數，假設 k 是一個基數而a 是一個序數，如果存在函數 f:a→k ，使得a 在 f 下的像在 k 中無界，就稱 f 是a 到 k 的共尾映射，也稱a 是 k 的共尾數，特別地，k 最小的共尾數記為 cf(k)。

所謂的無界即對於任意小於 k 的β ，都存在a 在 f 下的像ξ 大於β 。所以，f 反映的是 k 是否可以通過長度為a 的序列從下面抵達 k 。顯然，cf(k)≤k。如果 cf(k)＜k ，就稱 k 是奇異基數；如果 cf(k)=k ，就稱 k 為正則基數。

例如：對於任意自然數n，令 f(n)=?n，則 f:w→?w是共尾映射，所以?w是一個奇異基數。相反，?1是一個正則基數，畢竟可數個可數集的並仍是可數的。事實上，我們可以證明所有後繼基數都是正則的，故而，所有奇異基數都是極限基數。反過來，在極限基數中我們只知道w 是正則的。那自然的問題就是：「是否存在不可數的正則極限基數？」而「存在不可數的正則極限基數。」這也就是斷言不可達基數存在的公理了。