第四百零一章 馮諾依曼（2/2）

μ（k）=1；k作為自身的子集當然是屬於大的一類了。對任意x∈k，μ（{x}）=0；作為k的元素，該元素的集合當然也是k的子集，但這種子集連等勢都不等上，當然是屬於小的一類了。對任意x?Y，μ（x）≤μ（Y）；顯而易見，x作為Y的子集，Y的值不可能會小於x，最多大家一樣。

對任意兩兩不相交的子集族{xi|i∈w}，其並的測度（μ（u{xi|i∈w}））等於其分別測度之和；顯然，1+1=2，而μ只能顯示1和0，所以明擺著是說k中任意兩兩不相交的子集族都是戰0渣。是不是很簡單？動腦想下不難發現，阿列夫零上就具有這樣的測度，對於具有這種測度的基數我們稱之為可測基數。

而不可數的可測基數，則打破了可構造公理的神話，不為來自現象學的辯護支持，亦不被形而上的絕對無窮涵蓋，是大基數中的一道里程碑，大大基數的分水嶺，現代數理邏輯真正關注的大基數由此開始。可以說，上述的那些極大性之於可測基數都微不足道。但其實光有二值測度的確不夠直觀，還是需要加下非主超濾配合來看的。這裡有張圖會比較直觀地展現：

那麼定義k上的濾子U是一個超濾子，若且唯若對任意S?k，要麼S∈U，要麼S的補集∈U。直觀上，屬於U的集合是大的集合，自然地，補集為大的集合的集合就是小的集合。可以說超濾子將k的所有子集劃分為大的和小的，而稱U是主超濾子，若且唯若存在x∈k使得U={S?k|x∈S}。此外，稱U是k-完全的，若且唯若＜k個大的集合的交集仍然是大的。因此，如果稱一不可數基數是可測基數，那麼若且唯若存在k上的＜k-完全非主超濾子。

「（完蛋，我就知道扯到後面肯定會有一堆我看不懂的符號，看來我也就小學生水平了麼？）」尹浩感覺自己內心的吐槽，就像是一堆混亂代碼中前一任碼農留下的勸退注釋。

那麼如何理解不可達基數？遞歸的定義超窮基數：令?0=w，?a+為oN中所有基數大於?a的a之交，也就是基數比?a大的所有序數中最小的序數。不難看出，對於任意序數均可定義一個超窮基數，而所有超窮基數的類是oN的子類，儘管它倆的長度一樣長。

也甭管阿列夫一是怎麼大於阿列夫零了，反正存在大於阿列夫零的基數然後我們管其中最小的那個叫阿列夫一，第二個叫阿列夫二。現在我們已經知道每個基數都是序數，假設k是一個基數而a是一個序數，如果存在函數f:a→k，使得a在f下的像在k中無界，就稱f是a到k的共尾映射，也稱a是k的共尾數，特別地，k最小的共尾數記為cf(k)。

所謂的無界即對於任意小於k的β，都存在a在f下的像ξ大於β。所以，f反映的是k是否可以通過長度為a的序列從下面抵達k。顯然，cf(k)≤k。如果cf(k)＜k，就稱k是奇異基數；如果cf(k)=k，就稱k為正則基數。

例如：對於任意自然數n，令f(n)=?n，則f:w→?w是共尾映射，所以?w是一個奇異基數。相反，?1是一個正則基數，畢竟可數個可數集的並仍是可數的。事實上，我們可以證明所有後繼基數都是正則的，故而，所有奇異基數都是極限基數。反過來，在極限基數中我們只知道w是正則的。那自然的問題就是：「是否存在不可數的正則極限基數？」而「存在不可數的正則極限基數。」這也就是斷言不可達基數存在的公理了。

阿列夫1大於阿列夫0涉及等價類之類的複雜概念就算了，還是以簡單的貝斯數舉例了。倘若f:N→p(N)是雙射，則我們都可以問n是否屬於它在f下的像。自然地，存在n屬於f(n)的情況，也存在n不屬於f(n)的情況。顯然，所有屬於後者情況的n構成的一個集合S也是N的一個子集。因為f是雙射，所以有一個n在f下的像是S。那麼，對於這個n，我們也可以提問，n是否屬於S？